화공쟁이

감마분포 정의 - 연속형

어떤 사건의 발생이 포아송분포(Poisson(λt))를 따른다는 가정하에 어떤 사건이 r 번째로 발생할 때까지 소요되는 대기시간 X는 감마분포를 따르며 이의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$
f(x)=\frac{\lambda^r }{(r-1)!} x^{r-1}e^{-\lambda x} , x>0, \lambda>0
$$
이때 E(X)=r/λ, Var(X)=r/λ^2이다.
r=1이면 감마분포는 지수분포가 되고, λ=1/2이면 χ^2분포가 된다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=(\frac{\lambda }{\lambda -t})^r , t<\lambda
$$

지수분포 정의 - 연속형

어떤 사건의 발생이 포아송분포를 따른다는 가정하에 어떤 사건이 첫 번째로 발생할 때까지 소요되는 대기시간 X는 지수분포를 따르며 이의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0, \lambda>0
$$
이때 E(X)=1/λ, Var(X)=1/λ^2이다.
지수분포를 따르는 r개의 독립적인 확률변수들의 합은 감마분포를 따른다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot f(x)=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot \lambda e^{-\lambda x}=\int_{0}^{\infty } \lambda e^{-(\lambda-t) x}=\left [ -\frac{\lambda }{\lambda -t} e^{-(\lambda -t)x} \right ]_{0}^{\infty }=\frac{\lambda }{\lambda -t}
$$

포아송분포 정의 - 이산형

일반적으로 매우 희귀하여 일어날 확률이 아주 작은 경우에 적용되는데, 확률변수 X가 세가지 조건(독립성, 비집락성, 비례성)을 만족할 때 성공의 평균 출현횟수를 m이라하면 확률함수는 다음과 같다.
$$
P(X=x)=\frac{m ^{x}}{x!} e^{-m}
$$
이때 E(X)=m, Var(X)=m이다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{}e^{tx}\cdot P(X)=\sum_{x=0}^{}e^{tx}\cdot \frac{m ^{x}}{x!} e^{-m}=e^{-m}\sum_{x=0}^{} \frac{(me^t) ^{x}}{x!}=e^{m(exp(t)-1)}
$$

이항분포 정의 - 이산형

성공확률이 p인 베르누이 실험을 n번 독립적으로 반복 시행할 때 성공횟수 (X)가 r일 확률함수/확률밀도함수/확률질량함수는 다음과 같다.
$$
P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}q^{n-r}, (단 p+q=1, r=1,2,...,n)
$$
이때 E(X)=np, Var(X)=npq이다.
n이 1일 때 이항분포는 베르누이분포가 된다. 한편 p의 값이 매우 작고 평균이 일정할 때 n이 커지면 이항분포는 포아송분포로 표현된다. 그리고 n의 값이 큰 경우 이항분포확률값은 정규분포로 근사적으로 구할 수 있다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\cdot P(X)=\sum_{x=1}^{n}e^{tx}\cdot \binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}=\sum_{x=1}^{n}(pe^{t})^{x}\cdot \binom{n}{x}q^{n-x}=\left [ (1-p)+pe^{t} \right ]^{n}
$$

기대값(평균)

분산

##이항분포의 정규근사
$$
\frac{X-np}{\sqrt{npq}} \sim N(0,1)
$$

베르누이분포 정의 - 이산형

어떤 확률변수 X가 서로 배반적인 두 값(성공이면 X=1, 실패이면 X=0)을 가질 때 확률변수 X는 베르누이분포를 따른다. 이 때 확률함수/확률밀도함수/확률질량함수는 다음과 같다.
$$
P(X=r)=p^{r}(1-p)^{1-r}, (단 p+q=1, r=0,1)
$$
이때 E(X)=p, Var(X)=p(1-p)이다.
베르누이분포를 따르는 n개의 확률표본의 합은 이항분포를 따른다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x}^{}e^{tx}\cdot P(X)=\left [ e^{tx}\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ e^{tx}\cdot P(X) \right ]^{x=1}=e^{0}\cdot p^{0}(1-p)+e^{t}\cdot p(1-p)^{0}=(1-p)+pe^{t}
$$

기대값(평균)

$$
E(x)=\sum_{x}^{}x\cdot P(X)=\left [ x\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ x\cdot P(X) \right ]^{x=1}=0\cdot p^{0}(1-p)+1\cdot p(1-p)^{0}=p
$$
or
$$
E(X)=M{}'(0)=pe^0=p
$$

분산

$$
Var(x)=E(x^2)-E(x)^2=E(x^2)-p^2
$$
$$
E(x^2)=\sum_{x}^{}x^2\cdot P(X)=\left [ x^2\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ x^2\cdot P(X) \right ]^{x=1}=0\cdot p^{0}(1-p)+1\cdot p(1-p)^{0}=p
$$
or
$$
E(x^2)=M{}''(0)=pe^0=p
$$

$$
\therefore Var(x)=E(x^2)-E(x)^2=p-p^2=p(1-p)
$$

출처 : howmuch.net/articles/state-of-the-worlds-government-debt

아이디어도 참신하고 상당히 훌륭한 데이터 시각화라고 생각되어 줏어와 봤습니다. 

다만 올해가 2020년인데 이 자료는 2017년 실적이라고 하니 감안하고 보아야 하겠습니다. 우리나라가 어디쯤에 위치해 있는지 숨은그림찾기 하는 재미(?)도 덤으로 얻을 수 있습니다. 간신히 찾았는데 남한 지도가 옆으로 누워 있으니 금방 찾아지지는 않았습니다.

학교 교재를 보다가 답답해서 만들어 보았습니다.

인터넷에 검색해 보면 다 나오는데, 정작 교재에는 증명법 없이 관련 수식만 나오더군요.

공식을 단순 암기하는 것이 어려워 증명 과정을 보면 조금이나마 도움이 되지 않을까 했는데... 그다지 도움은 안되더군요. 그저 복잡한 수학 공식을 MS-word의 수식입력기를 이용하여 떠듬떠듬 입력하다보니, 수식입력기 사용법을 익히는 조그마한 소득을 얻었습니다.

이항분포, 초기하분포, 포아송분포등에서 평균 및 표준편자를 구하는 공식이 어떻게 유도되는지 궁금하신 분은 한번 읽어 보시기 바랍니다.