[통계학개론] 이항분포

이항분포 정의 - 이산형

성공확률이 p인 베르누이 실험을 n번 독립적으로 반복 시행할 때 성공횟수 (X)가 r일 확률함수/확률밀도함수/확률질량함수는 다음과 같다.
$$
P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}q^{n-r}, (단 p+q=1, r=1,2,...,n)
$$
이때 E(X)=np, Var(X)=npq이다.
n이 1일 때 이항분포는 베르누이분포가 된다. 한편 p의 값이 매우 작고 평균이 일정할 때 n이 커지면 이항분포는 포아송분포로 표현된다. 그리고 n의 값이 큰 경우 이항분포확률값은 정규분포로 근사적으로 구할 수 있다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\cdot P(X)=\sum_{x=1}^{n}e^{tx}\cdot \binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}=\sum_{x=1}^{n}(pe^{t})^{x}\cdot \binom{n}{x}q^{n-x}=\left [ (1-p)+pe^{t} \right ]^{n}
$$

기대값(평균)

분산

##이항분포의 정규근사
$$
\frac{X-np}{\sqrt{npq}} \sim N(0,1)
$$