[통계학개론]지수분포

지수분포 정의 - 연속형

어떤 사건의 발생이 포아송분포를 따른다는 가정하에 어떤 사건이 첫 번째로 발생할 때까지 소요되는 대기시간 X는 지수분포를 따르며 이의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0, \lambda>0
$$
이때 E(X)=1/λ, Var(X)=1/λ^2이다.
지수분포를 따르는 r개의 독립적인 확률변수들의 합은 감마분포를 따른다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot f(x)=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot \lambda e^{-\lambda x}=\int_{0}^{\infty } \lambda e^{-(\lambda-t) x}=\left [ -\frac{\lambda }{\lambda -t} e^{-(\lambda -t)x} \right ]_{0}^{\infty }=\frac{\lambda }{\lambda -t}
$$