[통계학개론]베르누이분포

베르누이분포 정의 - 이산형

어떤 확률변수 X가 서로 배반적인 두 값(성공이면 X=1, 실패이면 X=0)을 가질 때 확률변수 X는 베르누이분포를 따른다. 이 때 확률함수/확률밀도함수/확률질량함수는 다음과 같다.
$$
P(X=r)=p^{r}(1-p)^{1-r}, (단 p+q=1, r=0,1)
$$
이때 E(X)=p, Var(X)=p(1-p)이다.
베르누이분포를 따르는 n개의 확률표본의 합은 이항분포를 따른다.

적률생성함수

$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x}^{}e^{tx}\cdot P(X)=\left [ e^{tx}\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ e^{tx}\cdot P(X) \right ]^{x=1}=e^{0}\cdot p^{0}(1-p)+e^{t}\cdot p(1-p)^{0}=(1-p)+pe^{t}
$$

기대값(평균)

$$
E(x)=\sum_{x}^{}x\cdot P(X)=\left [ x\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ x\cdot P(X) \right ]^{x=1}=0\cdot p^{0}(1-p)+1\cdot p(1-p)^{0}=p
$$
or
$$
E(X)=M{}'(0)=pe^0=p
$$

분산

$$
Var(x)=E(x^2)-E(x)^2=E(x^2)-p^2
$$
$$
E(x^2)=\sum_{x}^{}x^2\cdot P(X)=\left [ x^2\cdot P(X) \right ]^{x=0}+\left [ x^2\cdot P(X) \right ]^{x=1}=0\cdot p^{0}(1-p)+1\cdot p(1-p)^{0}=p
$$
or
$$
E(x^2)=M{}''(0)=pe^0=p
$$

$$
\therefore Var(x)=E(x^2)-E(x)^2=p-p^2=p(1-p)
$$