어떤 사건의 발생이 포아송분포(Poisson(λt))를 따른다는 가정하에 어떤 사건이 r 번째로 발생할 때까지 소요되는 대기시간 X는 감마분포를 따르며 이의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$
f(x)=\frac{\lambda^r }{(r-1)!} x^{r-1}e^{-\lambda x} , x>0, \lambda>0
$$
이때 E(X)=r/λ, Var(X)=r/λ^2이다.
r=1이면 감마분포는 지수분포가 되고, λ=1/2이면 χ^2분포가 된다.
$$
M(t)=E(e^{tX})=(\frac{\lambda }{\lambda -t})^r , t<\lambda
$$
| [통계학개론]지수분포 (0) | 2020.12.03 |
|---|---|
| [통계학개론]포아송분포 (0) | 2020.12.03 |
| [통계학개론] 이항분포 (0) | 2020.12.03 |
| [통계학개론]베르누이분포 (2) | 2020.12.02 |
| Mann-Whitney U test (0) | 2020.07.05 |
어떤 사건의 발생이 포아송분포를 따른다는 가정하에 어떤 사건이 첫 번째로 발생할 때까지 소요되는 대기시간 X는 지수분포를 따르며 이의 확률밀도함수는 다음과 같다.
$$
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0, \lambda>0
$$
이때 E(X)=1/λ, Var(X)=1/λ^2이다.
지수분포를 따르는 r개의 독립적인 확률변수들의 합은 감마분포를 따른다.
$$
M(t)=E(e^{tX})=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot f(x)=\int_{0}^{\infty }e^{tx}\cdot \lambda e^{-\lambda x}=\int_{0}^{\infty } \lambda e^{-(\lambda-t) x}=\left [ -\frac{\lambda }{\lambda -t} e^{-(\lambda -t)x} \right ]_{0}^{\infty }=\frac{\lambda }{\lambda -t}
$$
| [통계학개론]감마분포 (1) | 2020.12.03 |
|---|---|
| [통계학개론]포아송분포 (0) | 2020.12.03 |
| [통계학개론] 이항분포 (0) | 2020.12.03 |
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일반적으로 매우 희귀하여 일어날 확률이 아주 작은 경우에 적용되는데, 확률변수 X가 세가지 조건(독립성, 비집락성, 비례성)을 만족할 때 성공의 평균 출현횟수를 m이라하면 확률함수는 다음과 같다.
$$
P(X=x)=\frac{m ^{x}}{x!} e^{-m}
$$
이때 E(X)=m, Var(X)=m이다.
$$
M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{}e^{tx}\cdot P(X)=\sum_{x=0}^{}e^{tx}\cdot \frac{m ^{x}}{x!} e^{-m}=e^{-m}\sum_{x=0}^{} \frac{(me^t) ^{x}}{x!}=e^{m(exp(t)-1)}
$$
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 엔지니어란 말은 기계공학자들에게 양보하고 우린 chemineer가 되어보자. by 화공쟁이 |
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